Synopsis

#include <boost/math/tools/series.hpp>

namespace boost{ namespace math{ namespace tools{
template <class Functor, class U, class V>
inline typename Functor::result_type sum_series(Functor& func, const U& tolerance, boost::uintmax_t& max_terms, const V& init_value);
template <class Functor, class U, class V>
inline typename Functor::result_type sum_series(Functor& func, const U& tolerance, boost::uintmax_t& max_terms);
//
// The following interfaces are now deprecated:
//   
template <class Functor>
typename Functor::result_type sum_series(Functor& func, int bits);
template <class Functor>
typename Functor::result_type sum_series(Functor& func, int bits, boost::uintmax_t& max_terms);
template <class Functor, class U>
typename Functor::result_type sum_series(Functor& func, int bits, U init_value);
template <class Functor, class U>
typename Functor::result_type sum_series(Functor& func, int bits, boost::uintmax_t& max_terms, U init_value);
template <class Functor>
typename Functor::result_type kahan_sum_series(Functor& func, int bits);
template <class Functor>
typename Functor::result_type kahan_sum_series(Functor& func, int bits, boost::uintmax_t& max_terms);
}}} // namespaces

Description

Эти алгоритмы предназначены для сумации бесконечной серии.

Каждый из алгоритмов принимает объект нулевой функции в качестве первого аргумента: объект функции будет неоднократно ссылаться, чтобы вытащить последовательные термины из серии суммируемых.

Второй аргумент - требуемая точность, суммирование остановится, когда следующий термин меньше терпимость умножит результат. Ухудшенные версии sum_series принимают огромное количество битов здесь - внутри они просто конвертируют это в толерантность и передают вызов.

Третий аргумент max_terms устанавливает верхний предел количества терминов серии для оценки. Кроме того, при выходе функция установит max_terms до фактического количества терминов серии, которые были оценены: это особенно полезно для профилирования свойств конвергенции новой серии.

Окончательный необязательный аргумент init_value является первоначальным значением суммы, к которой должны быть добавлены условия серии. Это полезно в двух ситуациях:

Два варианта kahan_sum_series этих алгоритмов поддерживают переносной термин, который исправляет затухшую ошибку во время суммирования. Они вдохновлены формулой Kahan Summation, которая появляется в Что каждый компьютерный ученый должен знать об арифметике Floating-Point. Однако следует отметить, что существует очень мало серий, которые требуют суммирования таким образом.

Example

Предположим, мы хотим реализовать log(1+x) через его бесконечные серии,

Мы начинаем с написания небольшого функционального объекта, чтобы вернуть последовательные условия серии:

template <class T>
struct log1p_series
{
   // we must define a result_type typedef:
   typedef T result_type;
   log1p_series(T x)
      : k(0), m_mult(-x), m_prod(-1){}
   T operator()()
   {
      // This is the function operator invoked by the summation
      // algorithm, the first call to this operator should return
      // the first term of the series, the second call the second 
      // term and so on.
      m_prod *= m_mult;
      return m_prod / ++k;
   }
private:
   int k;
   const T m_mult;
   T m_prod;
};

Внедрение log(1+x) теперь довольно тривиально:

template <class T>
T log1p(T x)
{
   // We really should add some error checking on x here!
   assert(std::fabs(x) < 1);
   // Construct the series functor:
   log1p_series<T> s(x);
   // Set a limit on how many iterations we permit:
   boost::uintmax_t max_iter = 1000;
   // Add it up, with enough precision for full machine precision:
   return tools::sum_series(s, std::numeric_limits<T>::epsilon(), max_iter);
}