Кватернионы являются относительными комплексными числами.
Кватернионы на самом деле являются частью небольшой иерархии структур, построенных на реальных числах, которые содержат только набор реальных чисел (традиционно названных), набор комплексных чисел (традиционно названных), набор кватернионов (традиционно названных), которые обладают интересными математическими свойствами (главным среди которых является тот факт, что они являютсяалгебрами деления,, где следующее свойство истинно: если<y>является элементом этой алгебры ине равны нулю)., затем<yx = yx'>, где<x>и<x'>обозначают элементы этой алгебры, подразумевает, что<x = x'>. Каждый член иерархии является супер-множеством первого.
Одним из наиболее важных аспектов кватернионов является то, что они обеспечивают эффективный способ параметризации вращений вR3(обычное трехмерное пространство) иR4.
В практическом плане кватернион представляет собой просто четверное число действительных чисел (α,β,γ,δ); которые мы можем написать в виде<q = α + βi + γj + δk>, где<i>является тем же объектом, что и для комплексных чисел, и<j>и<k>являются различными объектами, которые играют по существу ту же роль, что и<i>.
Сложение и умножение определяются на множестве кватернионов, обобщающих их реальные и сложные аналоги. Главным новшеством здесь является то, чтоумножение не является коммутативным(т.е. существуют кватернионы<x>и<y>так, что<xy ≠ yx>). Хорошим мнемотехническим способом запоминания вещей является использование формулы<i*i =
j*j = k*k = -1>.
Кватернионы (и их родственники) описаны гораздо более подробно в этом другомдокументе(сerrata и дополнениями).
Некоторые традиционные конструкции, такие как экспоненциальные, переносятся без чрезмерного изменения в области кватернионов, но другие, такие как квадратный корень, этого не делают.
