Есть много причин, по которым поиск корневых корней может потерпеть неудачу, вот лишь некоторые из наиболее распространенных примеров:

Local Minima

Если вы начинаете в неправильном месте, например, z₀:

Тогда почти любой алгоритм поиска корней спустится в локальный минимум, а не найдет корень.

Flatlining

В этом примере мы начинаем с места (z₀), где первая производная по существу равна нулю:

В этой ситуации следующая итерация будет продолжаться до бесконечности (при условии, что мы используем производные). Наш код защищает от этого, настаивая на том, что корень всегда скобок, а затем никогда не выходит за эти рамки. В таком случае ни один алгоритм поиска корней не может работать лучше, чем бисектирование, пока не будет найден корень.

Отметим, что на графике нет шкалы, мы видели примеры такой ситуации на практикедаже тогда, когда несколько десятичных мест исходного предположения z₀верны.

Это действительно частный случай более распространенной ситуации, когда корневой поиск с производными являетсядивергентным. Рассмотрим, начиная с z₀в этом случае:

Начальный шаг Ньютона уведет вас дальше от корня, чем вы начали, как и все последующие шаги.

Micro-stepping / Non-convergence

Рассмотрим, начиная с z₀в этой ситуации:

Первая производная по существу бесконечна, а вторая близка к нулю (и поэтому не предлагает никакой коррекции, если мы используем ее), в результате мы делаем очень маленький первый шаг. В худшем случае первый шаг настолько мал — возможно, даже настолько мал, что вычитание из z₀не имеет никакого эффекта при текущей рабочей точности — что наш алгоритм будет предполагать, что мы уже находимся в корне и заканчиваем. В противном случае мы предпримем множество очень маленьких шагов, которые никогда не сходятся на корне: наши алгоритмы защитят от этого, обратившись к разделу.

Примером такой ситуации может служить попытка найти корень e^-1/z2— эта функция имеет один корень приz = 0, но дляz₀< 0ни шаги Ньютона, ни шаги Галлея никогда не сойдутся на корне, а дляz₀>0шаги фактически расходятся.