Экспоненциальная последовательность определена для всех объектов, для которых это имеет смысл, как силовой ряд
, с<n! = 1x2x3x4x5...xn>(и<0!
= 1>по определению), являющийся факториалом<n>. В частности, экспоненциальная функция хорошо определена для действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов, октононов и матриц комплексных чисел.
Реальные и воображаемые части экс на С
Гиперболические функции определяются как силовые ряды, которые могут быть вычислены (для реалов, комплексов, кватернионов и октононов) как:
Гиперболический косинус:
Гиперболический синус:
Гиперболический касательный:
Тригонометрические функции на R (кос: фиолетовый; грех: красный; загар: синий)
Гиперболические функции на r (cosh: пурпурный; sinh: красный; tanh: синий)
Гиперболический синус один к одному на множестве реальных чисел, с диапазоном полного набора реалов, в то время как гиперболический касательный также один к одному на множестве реальных чисел, но с диапазоном<[0;+∞[>, и поэтому оба имеют обратные. Гиперболический косинус один к одному от<]-∞;+1[>до<]-∞;-1[>(и от<]+1;+∞[>до<]-∞;-1[>); обратная функция, которую мы используем здесь, определяется на<]-∞;-1[>с диапазоном<]-∞;+1[>.
Обратная сторона гиперболического тангенса называется гиперболическим тангенсом Аргумента и может быть вычислена как
.
Обратный гиперболический синус называется гиперболическим синусом Аргумента и может быть вычислен (для<[-1;-1+ε[>как
.
Обратная сторона гиперболического косинуса называется гиперболическим косинусом Аргумента и может быть вычислена как
.
