Synopsis

#include <boost/math/special_functions/gamma.hpp>

namespace boost{ namespace math{
template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_q_inv(T1 a, T2 q);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_q_inv(T1 a, T2 q, const Policy&);
template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_p_inv(T1 a, T2 p);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_p_inv(T1 a, T2 p, const Policy&);
template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_q_inva(T1 x, T2 q);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_q_inva(T1 x, T2 q, const Policy&);
template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_p_inva(T1 x, T2 p);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_p_inva(T1 x, T2 p, const Policy&);
}} // namespaces

Description

Есть четыренеполных гамма-функции, которые либо вычисляютxДаноaиpилиq.Даноxи либоp, либоq.

Тип возврата этих функций вычисляется с использованиемправил расчета типа результата, когда T1 и T2 являются различными типами, в противном случае тип возврата является просто T1.

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может быть использован для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

Tip

Когда люди обычно говорят об обратной неполной гамма-функции, они говорят об инвертировании по параметрух. Они реализуются здесь как gamma_p_inv и gamma_q_inv и, безусловно, являются наиболее эффективными из обратных, представленных здесь. Обратный напараметр находит применение в некоторых статистических приложениях, но должен быть вычислен довольно грубой силой численных методов и, следовательно, в несколько раз медленнее. Они реализованы здесь как gamma_p_inva и gamma_q_inva.

template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_q_inv(T1 a, T2 q);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_q_inv(T1 a, T2 q, const Policy&);

Возвращает значение x таким образом, что:<q =gamma_q(a, x);>

Требуется:a >0и1 >= p,q >= 0.

template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_p_inv(T1 a, T2 p);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_p_inv(T1 a, T2 p, const Policy&);

Возвращает значение x таким образом, что:<p =gamma_p(a, x);>

Требуется:a >0и1 >= p,q >= 0.

template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_q_inva(T1 x, T2 q);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_q_inva(T1 x, T2 q, const Policy&);

Возвращает такое значение, что:<q =gamma_q(a, x);>

Требуется:x >0и1 >= p,q >= 0.

template <class T1, class T2>
calculated-result-type gamma_p_inva(T1 x, T2 p);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type gamma_p_inva(T1 x, T2 p, const Policy&);

Возвращает такое значение, что:<p =gamma_p(a, x);>

Требуется:x >0и1 >= p,q >= 0.

Accuracy

Точность этих функций не сильно зависит от платформы или типа Т. Учитывая, что эти функции вычисляются итеративными методами, они намеренно «настраиваются», чтобы не быть слишком точными: в любом случае невозможно, чтобы эти функции были более точными, чем обычные передние неполные гамма-функции. На практике точность этих функций очень похожа на точность функцийgamma_pиgamma_q:

Testing

Существует два набора тестов:

Implementation

Функции gamma_p_inv иgamma_q_invимеют общую реализацию.

Сначала вычисляется первоначальное приближение с использованием методики, описанной в:

А. Р. Дидонато и А. Х. Моррис, вычисление коэффициентов неполной гамма-функции и их обратной АСМ Транс. Math. Software 12 (1986), 377-393.

Наконец, последние несколько битов очищаются с помощью итерации Галлея, предел итерации устанавливается до 2/3 от числа битов в T, что в эксперименте достаточно для обеспечения того, чтобы обратные стороны были по меньшей мере такими же точными, как и обычные неполные гамма-функции. При тестировании требуется не более 3 итераций для получения результата, столь же точного, как передняя неполная гамма-функция, и во многих случаях требуется только одна итерация.

Функции gamma_p_inva и gamma_q_inva также имеют общую реализацию, но обрабатываются отдельно от gamma_p_inv и gamma_q_inv.

Первоначальное приближение дляaвычисляется очень грубо, так чтоgamma_p(a, x) ~ 0,5, это значение затем используется в качестве отправной точки для общего алгоритма поиска корней без производных. Как следствие, эти две функции намного дороже, чем функции gamma_p_inv или gamma_q_inv. Тем не менее, корень обычно встречается менее чем в 10 итерациях.