Synopsis

#include <boost/math/special_functions/legendre.hpp>

namespace boost{ namespace math{
template <class T>
calculated-result-type legendre_p(int n, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type legendre_p(int n, T x, const Policy&);
template <class T>
calculated-result-type legendre_p(int n, int m, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type legendre_p(int n, int m, T x, const Policy&);
template <class T>
calculated-result-type legendre_q(unsigned n, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type legendre_q(unsigned n, T x, const Policy&);
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type legendre_next(unsigned l, T1 x, T2 Pl, T3 Plm1);
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type legendre_next(unsigned l, unsigned m, T1 x, T2 Pl, T3 Plm1);
}} // namespaces

Тип возврата этих функций вычисляется с использованием правил расчета типа результата.: Обратите внимание, что при наличии одного аргумента шаблона результат является тем же типом, что и этот аргумент, или<double>, если аргумент шаблона является целым типом.

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может использоваться для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

Description

template <class T>
calculated-result-type legendre_p(int l, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type legendre_p(int l, T x, const Policy&);

Возвращает Легендарный Полиномиал первого рода:

Требует -1<= x<= 1, иначе возвращает результатdomain_error.

Отрицательные порядки обрабатываются с помощью формулы отражения:

P_-l-1(x) = P_l(x)

Следующий график иллюстрирует поведение первых нескольких Легендарных Полиномиалов:

template <class T>
calculated-result-type legendre_p(int l, int m, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type legendre_p(int l, int m, T x, const Policy&);

Возвращает связанный с Legendre полином первого рода:

Требует -1<= x<= 1, иначе возвращает результатdomain_error.

Отрицательные значенияlиmобрабатываются через отношения идентичности:

Caution

Определение связанного с ним многочлена Legendre, используемое здесь, включает ведущий термин фазы Кондона-Шортли (-1)м. Это соответствует определению, данному Абрамовичем и Стегуном (8.6.6) и используемомуMathworldиMathematica's LegendreP. Однако использование в литературе не всегда включает этот фазовый термин, и, как ни странно, спецификация для связанной функции Legendre в C++ TR1 (assoc_legendre) также опускает его, несмотря на то, что он использует Абрамовица и Стегуна в качестве окончательного арбитра по этим вопросам. Смотри: Вайсштейн, Эрик У. «Легендра Полиномиал». MathWorld — Wolfram Web Resource(недоступная ссылка — история). Abramowitz, M. and Stegun, I. A. «Функции Легендра» и «Ортогональные полиномы» (Ch. 22 in Chs. 8 and 22 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th print). New York: Dover, pp. 331-339 and 771-802, 1972.

template <class T>
calculated-result-type legendre_q(unsigned n, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type legendre_q(unsigned n, T x, const Policy&);

Возвращает значение многочлена Legendre, который является вторым решением дифференциального уравнения Legendre, например:

Требуется -1<= x<= 1, иначеdomain_errorназывается.

Следующий график иллюстрирует первые несколько функций Legendre второго рода:

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type legendre_next(unsigned l, T1 x, T2 Pl, T3 Plm1);

Реализует три термина рекуррентного отношения для многочленов Legendre, эта функция может быть использована для создания последовательности значений, оцененных в том жеx, и для повышенияl. Это отношение повторяемости относится к Легендарным Полиномиалам как первого, так и второго рода.

Например, мы могли бы создать вектор первых 10 полиномиальных значений, используя:

double x = 0.5;  // Abscissa value
vector<double> v;
v.push_back(legendre_p(0, x));
v.push_back(legendre_p(1, x));
for(unsigned l = 1; l < 10; ++l)
   v.push_back(legendre_next(l, x, v[l], v[l-1]));
// Double check values:
for(unsigned l = 1; l < 10; ++l)
   assert(v[l] == legendre_p(l, x));

Формально аргументами являются:

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type legendre_next(unsigned l, unsigned m, T1 x, T2 Pl, T3 Plm1);

Реализует три термина рекуррентного отношения для ассоциированных многочленов Legendre, эта функция может быть использована для создания последовательности значений, оцененных при том жеx, и для повышенияl.

Например, мы могли бы создать вектор первых многочленных значений m+10, используя:

double x = 0.5;  // Abscissa value
int m = 10;      // order
vector<double> v;
v.push_back(legendre_p(m, m, x));
v.push_back(legendre_p(1 + m, m, x));
for(unsigned l = 1; l < 10; ++l)
   v.push_back(legendre_next(l + 10, m, x, v[l], v[l-1]));
// Double check values:
for(unsigned l = 1; l < 10; ++l)
   assert(v[l] == legendre_p(10 + l, m, x));

Формально аргументами являются:

Accuracy

Следующая таблица показывает пиковые ошибки (в единицах эпсилона) для различных областей входных аргументов. Обратите внимание, что только результаты для самого широкого типа с плавающей запятой в системе приведены, поскольку более узкие типы имеютфактически нулевую ошибку.

Обратите внимание, что самые худшие ошибки происходят, когда порядок увеличивается, значения, превышающие ~ 120, очень маловероятны для получения разумных результатов, особенно в связанном полиномиальном случае, когда степень также велика. Кроме того, относительные ошибки могут расти произвольно, когда функция очень близка к корню.

Testing

Используется смесь точечных тестов значений, рассчитанных с помощью functions.wolfram.com, и случайно сгенерированных тестовых данных: тестовые данные были вычислены с использованиемNTL::RRс 1000-битной точностью.

Implementation

Эти функции реализуются с использованием устойчивых трех терминов рекуррентных отношений. Эти отношения гарантируют низкую абсолютную ошибку, но не могут гарантировать низкую относительную ошибку вблизи одного из корней полиномов.