Synopsis

#include <boost/math/special_functions/hermite.hpp>

namespace boost{ namespace math{
template <class T>
calculated-result-type hermite(unsigned n, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type hermite(unsigned n, T x, const Policy&);
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type hermite_next(unsigned n, T1 x, T2 Hn, T3 Hnm1);
}} // namespaces

Description

Тип возврата этих функций вычисляется с использованием правил расчета типа результата : обратите внимание, что при наличии одного аргумента шаблона результат является тем же типом, что и этот аргумент, или double, если аргумент шаблона является целым типом.

template <class T>
calculated-result-type hermite(unsigned n, T x);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type hermite(unsigned n, T x, const Policy&);

Возвращает значение эрмитового полинома порядка n в точке x:

Конечный аргумент Политика является необязательным и может использоваться для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документацию по политике для более подробной информации .

Следующий график иллюстрирует поведение первых нескольких эрмитовых полиномов:

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type hermite_next(unsigned n, T1 x, T2 Hn, T3 Hnm1);

Реализует три термина рекуррентного отношения для эрмитовых полиномов, эта функция может быть использована для создания последовательности значений, оцененных при том же x, и для повышения n.

Например, мы могли бы создать вектор первых 10 полиномиальных значений, используя:

double x = 0.5;  // Abscissa value
vector<double> v;
v.push_back(hermite(0, x)).push_back(hermite(1, x));
for(unsigned l = 1; l < 10; ++l)
   v.push_back(hermite_next(l, x, v[l], v[l-1]));

Формально аргументами являются:

Accuracy

Следующая таблица показывает пиковые ошибки (в единицах эпсилона) для различных областей входных аргументов. Обратите внимание, что только результаты для самого широкого типа с плавающей запятой в системе приведены, поскольку более узкие типы имеют фактически нулевую ошибку .

Обратите внимание, что худшие ошибки происходят, когда степень увеличивается, значения, превышающие ~ 120, очень маловероятны для получения разумных результатов, особенно в связанном полиномиальном случае, когда порядок также велик. Кроме того, относительные ошибки могут расти произвольно, когда функция очень близка к корню.

Testing

Используется смесь точечных тестов значений, рассчитанных с помощью functions.wolfram.com, и случайно сгенерированных тестовых данных: тестовые данные были вычислены с использованием NTL::RR с 1000-битной точностью.

Implementation

Эти функции реализуются с использованием устойчивых трех терминов рекуррентных отношений. Эти отношения гарантируют низкую абсолютную ошибку, но не могут гарантировать низкую относительную ошибку вблизи одного из корней полиномов.