Definitions

В этом разделе приведены определения терминов, используемых в библиотеке численного преобразования.

Как определеноC++ Объектная модель(§1.7)хранилищеили память, на которой работает программа C++, представляет собой непрерывную последовательностьбайтов, где каждый байт представляет собой непрерывную последовательность битов.

Объектявляется областью хранения (§1.8) и имеет тип (§3.9).

Типпредставляет собой дискретный набор значений.

Объект типаTимеетпредставление объекта, которое представляет собой последовательность байтов, хранящихся в объекте (§3.9/4).

Объект типаTимеетпредставление значений, которое представляет собой набор битов, определяющихзначениеобъекта этого типа (§3.9/4). Длятипов POD(§3.9/10) этот битет задается представлением объекта, но не все биты в хранилище должны участвовать в представлении значения (за исключением типов символов): например, некоторые биты могут использоваться для прокладки или могут быть трап-биты.

типизированное значение, удерживаемое объектом, является значением, которое определяется его представлением стоимости.

Абстрактное значение(нетипированное) представляет собой концептуальную информацию, представленную в виде типа (т.е. число π).

Внутренняя величинаобъекта является двоичной величиной последовательности неподписанных символов, которые образуют его объектное представление.

Абстрактныезначения могут бытьпредставленыв данном типе.

Дляпредставленияабстрактного значенияVв типеTнеобходимо получить типизированное значениеv, которое соответствует абстрактному значениюV.

Операция обозначается с помощью оператораrep, как в:v=repVvявляетсяпредставлениемVв типеT.

Например, абстрактное значение π может быть представлено в типедвойнойкакдвойнойзначениеM_PIи в типеintкакintзначение3.

И наоборот,типизированные значениямогут бытьабстрагированы.

Дляабстрактноготипизированного значенияvтипаTявляется получение абстрактного значенияV, представление которого вTявляетсяv.

Операция обозначается с использованием оператораabt[], как в:V=abtv.

V— это.абстракцияvтипаT.

Абстракция — это просто абстрактная операция (вы не можете сделать это), но она определена тем не менее, потому что она будет использоваться, чтобы дать определения в остальной части этого документа.

Язык C++ определяетфундаментальные типы(§3.9.1). Следующие подмножества основных типов предназначены для представлениячисел:

Целые типы должны иметьдвоичноепредставление значений.

Кроме того, подписанные/неподписанные целые типы одного и того же базового типакороткие,intилидлинные] должны иметь одинаковое представление значений, то есть:

         int i = -3 ; // suppose value representation is: 10011 (sign bit + 4 magnitude bits)
unsigned int u =  i ; // u is required to have the same 10011 as its value representation.

Другими словами, целые типы, подписанные/неподписанные X, используют одно и то же представление значений, но различнаяинтерпретацияиз него; то есть ихтипизированные значениямогут отличаться.

Другим следствием этого является то, что диапазон для подписанного X всегда является меньшим подмножеством диапазона неподписанного X, как того требует §3.9.1/3.

Note

Всегда помните, что неподписанные типы, в отличие от подписанных типов, имеют модульно-арифметический характер, то есть не переполняются. Это означает, что: -Всегда будьте особенно осторожны при смешивании подписанных / неподписанных типов. -Используйте неподписанные типы только тогда, когда вам нужна арифметика модуля или очень большие числа. Не используйте неподписанные типы только потому, что вы намерены иметь дело только с положительными значениями (вы можете сделать это с подписанными типами).

В этом разделе представлены следующие определения, предназначенные для интеграции арифметических типов с определяемыми пользователем типами, которые ведут себя как числа. Некоторые определения специально широки для того, чтобы включать в себя огромное разнообразие определяемых пользователем типов чисел.

В этой библиотеке терминчислоотносится к абстрактному числовому значению.

Типчисловой, если:

Цифровой типподписан, если абстрактные значения, которые он представляет, включают отрицательные числа.

Цифровой тип —неподписанный, если абстрактные значения, которые он представляет, исключают отрицательные числа.

Цифровой тип —modulo, если он имеет модульно-арифметический (не переполнен).

Численным типом являетсяцелое число, если абстрактные значения, которые оно представляет, являются целыми числами.

Цифровой типплавающий, если абстрактные значения, которые он представляет, являются реальными числами.

арифметическое значениеявляется типизированным значением арифметического типа

Числовое значениеявляется типизированным значением числового типа.

Эти определения просто обобщают стандартные понятия арифметических типов и значений, вводя супермножество, называемоечислом. Все арифметические типы и значения являются числовыми типами и значениями, но не наоборот, поскольку определяемые пользователем числовые типы не являются арифметическими типами.

Следующие примеры разъясняют различия между арифметическими и числовыми типами (и значениями):

// A numeric type which is not an arithmetic type (is user-defined)
// and which is intended to represent integer numbers (i.e., an 'integer' numeric type)
class MyInt
{
    MyInt ( long long v ) ;
    long long to_builtin();
} ;
namespace std {
template<> numeric_limits<MyInt> { ... } ;
}
// A 'floating' numeric type (double) which is also an arithmetic type (built-in),
// with a float numeric value.
double pi = M_PI ;
// A 'floating' numeric type with a whole numeric value.
// NOTE: numeric values are typed valued, hence, they are, for instance,
// integer or floating, despite the value itself being whole or including
// a fractional part.
double two = 2.0 ;
// An integer numeric type with an integer numeric value.
MyInt i(1234);

При наличии набора номеровNнекоторые его элементы представляются в численном видеT.

Набор репрезентабельных значений типаT, или числовой наборT, представляет собой набор числовых значений, элементы которых представляют некоторое подмножествоN.

Например, интервалintзначенийINT_MIN,INT_MAXint, т.е.intцифрового множества, и соответствует представлению элементов интервала абстрактных значенийabtINT_MIN,abtINT_MAXот целых чисел.

Аналогично, интервалдвойныхзначений[-DBL_MAXDBL_MAXявляетсядвойнымчисловым множеством, которое соответствует подмножеству реальных чисел отabtabtDBL_MAX.

Пустьследующаяxобозначает наименьшее численное значение, превышающее x.

Пустьprevx]обозначают самое высокое числовое значение ниже, чем x.

Пусть[следующий]и=] являются тождествами, которые относятся к численному типизированному значениюс числом [5

REP(T)={l,next(l),next(next(l)),...,prev(prev(h)),prev(h),h}

Цифровой набор является дискретным. Он имеетразмер, который является числом числовых значений в множестве,ширина, который является абстрактной разницей между самыми высокими и самыми низкими граничными значениями:abth-abt.

Целые типы имеют плотность 1, что означает, что нет непредставимых целых чисел междуabtlиabth(т.е. нет зазоров). С другой стороны, плавающие типы имеют плотность намного меньше 1, что означает, что между последовательными плавающими значениями существуют реальные числа, непредставленные (т.е. есть промежутки).

Интервалабстрактных значенийabtl,abth]является диапазоном типаT, обозначаемогоRT.

Диапазон — это набор абстрактных значений, а не набор числовых значений. В других документах, таких как стандарт C++, словодиапазониногдаиспользуется как синонимцифровогонабора, то есть как упорядоченная последовательность числовых значений отlдоh. В этом документе, однако, диапазон является абстрактным интервалом, который субтендирует числовой набор.

Например, последовательность[-DBL_MAXDBL_MAXявляется числовым набором типадвойной, а реальный интервалabtDBL_MAXabtDBL_MAX]является его диапазоном.

Обратите внимание, например, что диапазон типа с плавающей точкойнепрерывныйв отличие от его числового набора.

Это определение было выбрано потому, что:

Это определение позволяет дать краткое определениеподгруппированного, как указано в последнем разделе.

Ширина числового множества, как определено, точно эквивалентна ширине диапазона.

Точностьтипа определяется шириной или плотностью числового множества.

Для целых типов, которые имеют плотность 1, точность концептуально эквивалентна диапазону и определяется количеством битов, используемых в представлении значений: Чем больше число битов, тем больше размер числового набора, тем шире диапазон и тем выше точность.

Для плавающих типов, имеющих плотность<<1, точность задается не шириной диапазона, а плотностью. В типичной реализации диапазон определяется количеством битов, используемых в экспоненте, и точностью по количеству битов, используемых в мантиссе (придавая максимальное количество значащих цифр, которые могут быть точно представлены). Чем больше число экспонентных битов, тем шире диапазон, в то время как чем больше число битов мантисы, тем выше точность.

Дано абстрактное значениеVи типTс соответствующим диапазономabtl,abth:

ЕслиV<lV>abthV(не может быть представлено] в типеT, или, эквивалентно, это представление в типеTявляетсявне диапазонаилипереполнения.