How does Boost.Ratio try to avoid compile-time rational arithmetic overflow?

>>>ратио>2>2>2>>2>2>>2>2>2>>2>2>2>2>2>2>2>2>2>2>2>2>>2>>2>>2>>>>2>>>>>2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.

Подъем. Соотношение реализует некоторые упрощения, чтобы уменьшить вероятность переполнения. Общие идеи:

Следующие подразделы более подробно освещают каждый случай.

ratio_add

In

(n1/d1)+(n2/d2)=(n1*d2+n2*d1)/(d1*d2)

либо n1*d2+n2*d1, либо d1*d2 может переполняться.

( (n1 * d2)  + (n2 * d1) )
--------------------------
         (d1 * d2)

Разделение на gcd(d1,d2) как на num, так и на den

( (n1 * (d2/gcd(d1,d2)))  + (n2 * (d1/gcd(d1,d2))) )
----------------------------------------------------
               ((d1 * d2) / gcd(d1,d2))

Умножение и погружение gcd (n1,n2) в числитель

( ((gcd(n1,n2)*(n1/gcd(n1,n2))) * (d2/gcd(d1,d2)))  +
  ((gcd(n1,n2)*(n2/gcd(n1,n2))) * (d1/gcd(d1,d2)))
)
--------------------------------------------------
         ( (d1 * d2) / gcd(d1,d2) )

Factorizing gcd(n1,n2)

( gcd(n1,n2) *
  ( ((n1/gcd(n1,n2)) * (d2/gcd(d1,d2))) + ((n2/gcd(n1,n2)) * (d1/gcd(d1,d2))) )
)
-------------------------------------------------------------------------------
                            ( (d1 * d2) / gcd(d1,d2) )

Перегруппировка

( gcd(n1,n2) *
  ( ((n1/gcd(n1,n2)) * (d2/gcd(d1,d2))) + ((n2/gcd(n1,n2)) * (d1/gcd(d1,d2))) )
)
-------------------------------------------------------------------------------
                          ( (d1 / gcd(d1,d2)) * d2 )

Разделение (d1/gcd(d1,d2)

( ( gcd(n1,n2) / (d1 / gcd(d1,d2)) ) *
  ( ((n1/gcd(n1,n2)) * (d2/gcd(d1,d2))) + ((n2/gcd(n1,n2)) * (d1/gcd(d1,d2))) )
)
-------------------------------------------------------------------------------
                                       d2

Разделение на d2

( gcd(n1,n2) / (d1 / gcd(d1,d2)) ) *
( ((n1/gcd(n1,n2)) * (d2/gcd(d1,d2))) + ((n2/gcd(n1,n2)) * (d1/gcd(d1,d2))) / d2 )

Это выражение соответствует умножению двух коэффициентов, которые имеют меньший риск переполнения, поскольку начальные числители и знаменатели появляются сейчас в большинстве случаев, разделенных на gcd.

Для соотношения_привлечь аргументация одна и та же.

ratio_multiply

In

(n1/d1)*(n2/d2)=((n1*n2)/(d1*d2))

n1*n2 или d1*d2 может переполняться.

Разделение на gcc(n1,d2) числитель и знаменатель

(((n1/gcc(n1,d2))*n2)
---------------------
(d1*(d2/gcc(n1,d2))))

Разделение на gcc(n2,d1)

((n1/gcc(n1,d2))*(n2/gcc(n2,d1)))
---------------------------------
((d1/gcc(n2,d1))*(d2/gcc(n1,d2)))

И теперь все начальные числители и знаменатели были сокращены, избегая переполнения.

Для соотношений_дивит аргументация аналогична.

ratio_less

Для оценки

(n1/d1)<(n2/d2)

без перехода к числам с плавающей точкой используются два метода:

Если знак (n1) < sign(n2) является истинным.

Если знак (n1) == sign(n2) результат зависит от следующего после того, как числовые устройства будут положительными

Назовем Ци целым разделением ni и di, и Mi modulo ni и di.

ni = Qi * di + Mi and Mi < di

Форма

((n1*d2)<(d1*n2))

мы

(((Q1 * d1 + M1)*d2)<(d1*((Q2 * d2 + M2))))

Развивающихся стран

((Q1 * d1 * d2)+ (M1*d2))<((d1 * Q2 * d2) + (d1*M2))

Разделение на d1*d2

Q1 + (M1/d1) < Q2 + (M2/d2)

Если Q1=Q2 результат зависит от

(M1/d1) < (M2/d2)

Если M1==0==M2 - результат неверный

Если M1=0 M2!=0 результат верный

Если M1!=0 M2==0 результат неверный

Если M1!=0 M2!=0 результат зависит от

(d2/M2) < (d1/M1)

Если Q1!=Q2, результат

Q1 + (M1/d1) < Q2 + (M2/d2)

зависит только от Q1 и Q2, так как Qi - целые числа и (Mi/di) <1, потому что Mi

если Q1>Q2, Q1==Q2+k, k>=1

Q2+k + (M1/d1) < Q2 + (M2/d2)
k + (M1/d1) < (M2/d2)
k < (M2/d2) - (M1/d1)

но разница между двумя числами между 0 и 1 не может быть больше 1, поэтому результат является ложным.

если Q2>Q1, Q2==Q1+k, k>=1

Q1 + (M1/d1) < Q1+k + (M2/d2)
(M1/d1) < k + (M2/d2)
(M1/d1) - (M2/d2) < k

что всегда верно, поэтому результат - это правда.

Следующая таблица резюмирует эту аналитику

Код библиотеки был получен из прототипа Говарда Хиннанта time2_demo. Многие благодаря Говарду за то, что он сделал свой код доступным по лицензии Boost. Первоначальный код был изменен Beman Dawes, чтобы соответствовать конвенциям Boost.

time2_demo содержит этот комментарий:

Большое спасибо Андрею Александреску, Уолтеру Брауну, Питеру Димову, Джеффу Гарланду, Терри Голубиевски, Дэниелу Круглеру, Энтони Уильямсу.

Говард Хиннант, который является настоящим автором библиотеки, предоставил ценные отзывы и предложения во время развития библиотеки. В частности, источник The ratio_io.hpp был адаптирован из экспериментального заголовка <ratio_io> от Говарда Хинанта.

Обзор принятия Boost. Соотношение произошло между 2 и 11 октября 2010 года. Большое спасибо Энтони Уильямсу, руководителю обзора, и всем рецензентам: Бруно Сантуш, Джоэл Фальку, Роберт Стюарт, Роланд Бок, Том Тан и Пол А. Бристоль.

Спасибо Эндрю Чиноффу и Полу А. Бристолю за помощь в полировании документации.

Чтобы проверить, вам нужно бежать

bjam libs/ratio/test

Вы также можете запустить определенный набор тестов, делая

cd libs/chrono/test
bjam ratio

For later releases