Synopsis

#include <boost/math/special_functions/beta.hpp>

namespace boost{ namespace math{
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ibeta(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ibeta(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ibetac(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ibetac(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type beta(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type beta(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type betac(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type betac(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);
}} // namespaces

Description

Есть четыре неполные бета-функции: два являются нормализованными версиями (также известными как регуляризованные бета-функции), которые возвращают значения в диапазоне [0, 1], и два являются ненормализованными и возвратными значениями в диапазоне [0, бета(a, b)]. Пользователи, заинтересованные в статистических приложениях, должны использовать нормализованные (или регуляризованные) версии (ibeta и ibetac).

Все эти функции требуют 0 <=х <=1.

Нормализованные функции ibeta и ibetac требуют a,b >= 0, а кроме того, что не a и b являются нулевыми.

Функции бета и бетак требуют a,b > 0.

Тип возврата этих функций вычисляется с использованием правил расчета типа Результат, когда T1, T2 и T3 разные типы.

Окончательный аргумент Политика является необязательным и может использоваться для контроля поведения функции: как он обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т.д. См. документ политики для более подробной информации.

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ibeta(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ibeta(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);

Возвращает нормализованную неполную бета-функцию a, b и x:

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ibetac(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ibetac(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);

Возвращает нормализованное дополнение неполной бета-функции a, b и x:

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type beta(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type beta(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);

Возвращает полную (ненормализованную) неполную бета-функцию a, b и x:

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type betac(T1 a, T2 b, T3 x);
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type betac(T1 a, T2 b, T3 x, const Policy&);

Возвращает полное (ненормализованное) дополнение неполной бета-функции a, b и x:

Accuracy

Следующие таблицы дают пиковые и средние относительные ошибки в различных доменах a, b и x, а также сравнения с библиотеками GSL-1.9 и Cephes. Обратите внимание, что только результаты для самого широкого типа плавающей точки в системе даны, поскольку более узкие типы имеют эффективно нулевые ошибки.

Обратите внимание, что результаты для 80 и 128-битных двойников значительно выше, чем для двойников: это потому, что более широкий диапазон экспонентов этих типов позволяет испытывать более экстремальные тестовые случаи. Например, ожидаемые результаты, которые равны нулю с двойной точностью, могут быть конечными, но исключительно малыми с более широким диапазоном двойных типов.

Testing

Существует два набора тестов: спот-тесты сравнивают значения, взятые из онлайн-оценщика функции Mathworld с этой реализацией: они обеспечивают базовую «проверку состояния» для реализации, с одним спот-тестом в каждом домене реализации (см. имплементационные примечания ниже).

Точное тестирование использует данные, генерируемые с очень высокой точностью (с NTL RR классом , установленным при 1000-битной точности), используя «учебник» непрерывное представительство фракции (см. первую непрерывную долю в обсуждении реализации ниже). Обратите внимание, что эта продолжающаяся часть не используется в реализации, и поэтому у нас есть тестовые данные, которые полностью независимы от кода.

Implementation

Эта реализация тесно основана на "Algorithm 708; Значительное цифровое вычисления неполных коэффициентов бета-функций", DiDonato и Morris, ACM, 1992.

Все четыре из этих функций имеют общую реализацию: это передается как х, так и y, и может вернуть либо p, либо q, где они связаны:

таким образом, в любой момент мы можем заменить a для b, x для y и p для q, если это приводит к более благоприятному положению. Как правило, такие свопы выполняются так, что мы всегда вычисляем значение меньше 0,9: когда требуется, это может быть вычтено из 1 без неоправданной ошибки отмены.

Нижеследующее постоянное представительство фракций встречается во многих учебниках, но не используется в этой реализации - это как медленнее, так и менее точно, чем альтернативы - однако оно используется для получения тестовых данных:

Следующая неизменная доля связана с Didonato и Morris, и используется в этой реализации, когда a и b являются более чем 1:

Для малых b и x затем может использоваться представление серии:

Когда b < < а затем переход от 0 к 1 происходит очень близко к x = 1, и необходимо позаботиться о методе вычисления, в этом случае используется следующая серия представления:

Где Q(a,x) является неполной гамма-функцией. Обратите внимание, что этот метод опирается на сохранение таблицы всех p_n ранее вычислилось, что ограничивает точность метода, в зависимости от размера используемой таблицы.

Когда a и b являются малыми целых чисел, то мы можем связать неполную бета-версию с биномиальным распределением и использовать следующую конечную сумму:

Наконец, мы можем обойти сложные области или перейти в область с более эффективным средством вычисления, используя формулы дублирования:

Домены a, b и x, для которых используются различные методы, идентичны тем, которые описаны в статье Didonato и Morris TOMS 708.