Synopsis

#include <boost/math/special_functions/beta.hpp>

namespace boost{ namespace math{
template <class T1, class T2>
calculated-result-type beta(T1 a, T2 b);
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type beta(T1 a, T2 b, const Policy&);
}} // namespaces

Description

Бета-функция определяется:

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может использоваться для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

Эффективно существует две версии этой функции: полностью общая версия, которая является медленной, но достаточно точной, и гораздо более эффективное приближение, которое используется там, где число цифр в значении T соответствует определенному приближениюЛанчоса. На практике любой встроенный тип плавающей точки, с которым вы столкнетесь, имеет подходящее значение.Приближение Ланчосаопределено для него. Также возможно, учитывая достаточное машинное время, генерировать дальнейшее приближениеLanczosс использованием программы libs/math/tools/lanczos_generator.cpp.

Тип возврата этих функций вычисляется с использованием правил расчета типа результата, когда T1 и T2 являются различными типами.

Accuracy

В следующей таблице показаны пиковые ошибки для различных областей входных аргументов, а также сравнения с библиотекамиGSL-1.9иCephes. Обратите внимание, что только результаты для самого широкого типа с плавающей запятой в системе приведены, поскольку более узкие типы имеютфактически нулевую ошибку.

Обратите внимание, что самые худшие ошибки происходят, когда а или б велики, и что, когда это так, результат очень близок к нулю, поэтому абсолютные ошибки будут очень малы.

Testing

Используется смесь точечных точечных тестов и случайно сгенерированных тестовых данных: тестовые данные были вычислены с использованиемNTL::RRс 1000-битной точностью.

Implementation

Традиционные методы оценки бета-функции включают в себя либо оценку гамма-функций напрямую, либо прием логарифмов, а затем экспоненциацию результата. Тем не менее, первый склонен к переполнению даже для очень скромных аргументов, в то время как второй склонен к ошибкам отмены. В качестве альтернативы, если рассматривать гамма-функцию как белую коробку, содержащую приближение Ланчоса, то можно объединить термины мощности:

Это почти идеальное решение, однако почти вся ошибка возникает при оценке значений мощности, когдаaилиbвелики. Если мы предположим, чтоa >b, то больший из двух степеней может быть уменьшен в коэффициентеb, что сразу сокращает максимальную погрешность пополам:

Возможно, это не окончательное решение, но оно очень конкурентоспособно по сравнению с другими методами реализации.

Общий вариант осуществления, в котором нет приближенияLanczos, реализован очень похожим образом на общий вариант гамма-функции. Опять же, чтобы избежать численного переполнения, условия мощности, которые префиксируют серию и продолжающиеся части фракции, собираются вместе в:

где la, lb и lc - пределы интеграции, используемые для a, b и a+b.

Есть несколько особых случаев, которые стоит упомянуть:

Когдаaилиbменьше единицы, мы можем использовать отношения повторения:

Переехать в более благоприятный регион, где они оба больше 1.

Кроме того: