Функции Бесселя являются решениями обычного дифференциального уравнения Бесселя:
где ν является порядком уравнения и может быть произвольным вещественным или комплексным числом, хотя наиболее часто встречаются целые порядки.
Эта библиотека поддерживает либо целые, либо реальные заказы.
Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, должно быть два линейно независимых решения, первое из которых обозначается Jv и известно как функция Бесселя первого рода:
Эта функция реализована в этой библиотеке как cyl_bessel_j.
Второе решение обозначается либо Yv либо Nv и называется либо Бесселевой функцией второго рода, либо функцией Неймана:
Эта функция реализована в этой библиотеке как cyl_neumann.
Функции Бесселя удовлетворяют отношениям повторения:
Иметь производные:
Иметь вронские отношения:
и формулы отражения:
Функции Бесселя справедливы для сложного аргумента x, и важным частным случаем является ситуация, когда x является чисто воображаемым: дающим реальный ценный результат. В этом случае функциями являются два линейно независимых решения модифицированного уравнения Бесселя:
Решения известны как модифицированные функции Бесселя первого и второго рода (или иногда как гиперболические функции Бесселя первого и второго рода). Они обозначаются Iv и Kv соответственно:
Эти функции реализованы в этой библиотеке как cyl_bessel_i и cyl_bessel_k соответственно.
Измененные функции Бесселя удовлетворяют отношениям повторения:
Иметь производные:
Иметь вронские отношения:
и формулы отражения:
При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах путем разделения переменных радиальное уравнение имеет вид:
Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферическими функциями Бесселя jn и yn и связаны с обычными функциями Бесселя Jn и Yn :
Сферическая функция Бесселя второго рода yn также известна как сферическая функция Неймана nn.
Эти функции реализованы в этой библиотеке как sph_bessel и sph_neumann.
