#include <boost/math/distributions/inverse_chi_squared.hpp>

namespace boost{ namespace math{
template <class RealType = double,
          class Policy   = policies::policy<> >
class inverse_chi_squared_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   typedef Policy   policy_type;
   inverse_chi_squared_distribution(RealType df = 1); // Not explicitly scaled, default 1/df.
   inverse_chi_squared_distribution(RealType df, RealType scale = 1/df);  // Scaled.
   RealType degrees_of_freedom()const; // Default 1.
   RealType scale()const; // Optional scale [xi] (variance), default 1/degrees_of_freedom.
};
}} // namespace boost // namespace math

Обратное квадратное распределение ци представляет собой непрерывное вероятностное распределение , взаимное переменной, распределенной в соответствии с квадратным распределением ци.

Приведенные ниже источники дают сбивчиво разные формулы с использованием разных символов для распределения pdf, но все они одинаковы или связаны изменением переменной или выбором масштаба.

Для реализации как масштабированных, так и (неявно) немасштабируемых версий доступны два конструктора.

Основная версия имеет явный параметр масштаба, который реализует обратное распределение chi_squared .

Вторая версия имеет неявную шкалу = 1/градусы свободы и даёт 1-е определение в Википедии обратное распределение chi_squared. 2-е обратное определение распределения chi_squared может быть реализовано путем явного указания шкалы = 1.

Оба определения также доступны в Wolfram Mathematica и в The R Project for Statistical Computing (geoR) со шкалой по умолчанию = 1/градусы свободы.

Видишь

Распределение inverse_chi_squared используется в Байесовской статистике: масштабированный обратный хи-квадрат является конъюгатным априором для нормального распределения с известным средним параметром модели σ² (вариантность).

См. сопряженные априоры, включая таблицу распределения и их априоры.

См. также Inverse Gamma Distribution и Chi Squared Distribution.

Обратное_chi_squared распределение является особым случаем обратного_gamma распределения с ν (градусы_of_freedom) форма (α) и масштаб (β), где

   α= ν/2 и β = ½.

	Note
	Это распределение does обеспечивает типдеф: typedef inverse_chi_squared_distribution<double> inverse_chi_squared; Если вы хотите double точное обратное_chi_squared распределение, вы можете использовать boost::math::inverse_chi_squared_distribution<> или вы можете написать inverse_chi_squared my_invchisqr(2>, 3);

Для параметров степеней свободы ν (немасштабируемое) обратное распределение chi_squared определяется функцией плотности вероятности (PDF):

   f(x;ν) = 2^-ν/2 x^-ν/2-1 e^-1/2x/Γ(ν/2)

функция кумулятивной плотности (CDF)

   F(x;ν) = Γ(ν/2, 1/2x)/Γ(ν/2)

Для параметра степеней свободы ν и параметра масштаба ξ обратное чи_квадратное распределение определяется функцией плотности вероятности (PDF):

   f(x;ν, ξ) = (ξν/2)^ν/2 e^-νξ/2x x^-1-ν/2/Γ(ν/2)

функция кумулятивной плотности (CDF)

   F(x;ν, ξ) = Γ(ν/2, νξ/2x)/Γ(ν/2)

Следующие графики иллюстрируют, как PDF и CDF обратного распределения chi_squared изменяются для нескольких значений параметров ν и ξ:

Member Functions

inverse_chi_squared_distribution(RealType df = 1); // Implicitly scaled 1/df.
inverse_chi_squared_distribution(RealType df = 1, RealType scale); // Explicitly scaled.

Построено обратное распределение chi_squared с ν степенями свободы df и шкалой scale со значением по умолчанию 1/df.

Требует, чтобы степени свободы ν параметр был больше нуля, иначе вызывает domain_error.

RealType degrees_of_freedom()const;

Возвращает градусы свободы и #957; параметр этого распределения.

RealType scale()const;

Возвращает градусы свободы и #957; параметр этого распределения.

Non-member Accessors

Поддерживаются все функции доступа , которые являются общими для всех дистрибутивов: Кумулятивная функция распределения , Кумулятивная функция плотности , Квантиль , Опасная функция , Кумулятивная функция опасности , Средний , Средний , Мод , Вариантность , стандартное отклонение , Куртоз , Куртоз_избыток , Дальность и Поддержка .

Домен случайной вариативности [0,+∞].

	Note
	В отличие от некоторых определений, эта реализация поддерживает случайную вариацию, равную нулю в качестве особого случая, возвращая ноль как для pdf, так и для cdf.

Accuracy

Обратное гамма-распределение реализуется с точки зрения неполных гамма-функций, таких как Обратное гамма-распределение , которые используют gamma_p и gamma_q, а их обратные gamma_p_inv и gamma_q_inv: для получения дополнительной информации обратитесь к данным точности для этих функций. Но в целом, результаты гамма (и, следовательно, обратная гамма) часто точны для нескольких эпсилоновых, 14 десятичных цифр точности для 64-разрядного двойного. Если не задействована итерация, как для оценки степеней свободы.

Implementation

В следующей таблице ν является параметром степеней свободы и ξ является параметром шкалы распределения, x является случайной вариацией, p является вероятностью и q = 1-p его дополнением. Параметры α для формы и β для масштаба используются для обратной гамма-функции: α = ν/2 и β = ν * ξ/2.

Функция	Записки об осуществлении
pdf	Используя соотношение: pdf = gamma_p_derivative(α, β/x, β) / x * x
cdf	Используя соотношение: p = gamma_q(α, β/x)
cdf	Используя соотношение: q = gamma_p(α, β/x)
квантиль	Используя соотношение: x = β  / gamma_q_inv(α, p)
квантиль от дополнения	Используя соотношение: x = α  / gamma_p_inv(α, q)
режим	& #957; * & #958; / (& #957; + 2)
медиана	аналитическое уравнение закрытой формы не известно, но оценивается как квантиль (0.5)
означает	νξ / (ν - 2) для ν > 2, иначе domain_error
дисперсия	2 & #957; & #178; & #958; & #178; / ((& #957; -2) & #178; (& #957; -4)) для & #957; >4, иначе domain_error
неровность	4 √2 √(ν-4) /(ν-6) для ν >6, иначе domain_error
kurtosis_excess	12 * (5ν - 22) / ((ν - 6) * (ν - 8)) для ν >8; еще domain_error
куртоз	3 + 12 * (5ν - 22) / ((ν - 6) * (ν-8)) для ν >8; еще domain_error

References

1. Bayesian Data Analysis, Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, Donald B. Rubin, ISBN-13: 978-1584883883, Chapman & Hall; 2 edition (29 July 2003).
2. Bayesian Computation with R, Jim Albert, ISBN-13: 978-0387922973, Springer; 2nd ed. edition (10 Jun 2009)