Synopsis

#include <boost/math/special_functions/ellint_rf.hpp>

namespace boost { namespace math {
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ellint_rf(T1 x, T2 y, T3 z)
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ellint_rf(T1 x, T2 y, T3 z, const Policy&)
}} // namespaces

#include <boost/math/special_functions/ellint_rd.hpp>

namespace boost { namespace math {
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ellint_rd(T1 x, T2 y, T3 z)
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ellint_rd(T1 x, T2 y, T3 z, const Policy&)
}} // namespaces

#include <boost/math/special_functions/ellint_rj.hpp>

namespace boost { namespace math {
template <class T1, class T2, class T3, class T4>
calculated-result-type ellint_rj(T1 x, T2 y, T3 z, T4 p)
template <class T1, class T2, class T3, class T4, class Policy>
calculated-result-type ellint_rj(T1 x, T2 y, T3 z, T4 p, const Policy&)
}} // namespaces

#include <boost/math/special_functions/ellint_rc.hpp>

namespace boost { namespace math {
template <class T1, class T2>
calculated-result-type ellint_rc(T1 x, T2 y)
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type ellint_rc(T1 x, T2 y, const Policy&)
}} // namespaces

#include <boost/math/special_functions/ellint_rg.hpp>

namespace boost { namespace math {
template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ellint_rg(T1 x, T2 y, T3 z)
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ellint_rg(T1 x, T2 y, T3 z, const Policy&)
}} // namespaces

Description

Эти функции возвращают симметричные эллиптические интегралы Карлсона, функции имеют сложное поведение во всех своих возможных областях, но следующий график дает представление об их поведении:

Тип возврата этих функций вычисляется с использованием правил расчета типа результата., когда аргументы бывают разных типов: в противном случае возврат является тем же типом, что и аргументы.

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ellint_rf(T1 x, T2 y, T3 z)
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ellint_rf(T1 x, T2 y, T3 z, const Policy&)

Возвращает эллиптический интеграл Карлсона R_F:

Требует, чтобы все аргументы были неотрицательными, а максимум один может быть нулевым. В противном случае возвращает результатdomain_error.

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может быть использован для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ellint_rd(T1 x, T2 y, T3 z)
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ellint_rd(T1 x, T2 y, T3 z, const Policy&)

Возвращает эллиптический интеграл Карлсона R_F:

Требует, чтобы x и y были неотрицательными, причем самое большее один из них равен нулю, и что z>=0.В противном случае возвращается результатdomain_error.

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может быть использован для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

template <class T1, class T2, class T3, class T4>
calculated-result-type ellint_rj(T1 x, T2 y, T3 z, T4 p)
template <class T1, class T2, class T3, class T4, class Policy>
calculated-result-type ellint_rj(T1 x, T2 y, T3 z, T4 p, const Policy&)

Возвращает эллиптический интеграл Карлсона R_F:

Требует, чтобы x, y и z были неотрицательными, причем максимум один из них равен нулю, и чтоp! = 0. В противном случае возвращает результатdomain_error.

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может быть использован для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

Когдаp< 0функция возвращаетОсновное значение Кошис использованием отношения:

template <class T1, class T2>
calculated-result-type ellint_rc(T1 x, T2 y)
template <class T1, class T2, class Policy>
calculated-result-type ellint_rc(T1 x, T2 y, const Policy&)

Возвращает эллиптический интеграл Карлсона R_F:

x >0и чтоу! = 0. В противном случае возвращает результатdomain_error.

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может быть использован для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

Когдаy< 0функция возвращаетОсновное значение Кошис использованием отношения:

template <class T1, class T2, class T3>
calculated-result-type ellint_rg(T1 x, T2 y, T3 z)
template <class T1, class T2, class T3, class Policy>
calculated-result-type ellint_rg(T1 x, T2 y, T3 z, const Policy&)

Возвращает эллиптический интеграл Карлсона R_F:

Требует, чтобы x и y были неотрицательными, иначе возвращает результатdomain_error.

Конечный аргументПолитикаявляется необязательным и может быть использован для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документациюдля более подробной информации.

Testing

Существует два набора тестов.

Спот-тесты сравнивают выбранные значения с тестовыми данными, приведенными в:

Случайные тестовые данные, генерируемые с использованием NTL::RR с 1000-битной точностью, и наши проверки реализации ошибок округления и / или регрессий.

Существуют также проверки здравомыслия, которые используют взаимосвязи между интегралами для проверки их правильности: см. вышеупомянутую статью Карлсона для деталей.

Accuracy

Эти функции вычисляются с использованием только базовых арифметических операций, поэтому нет большого различия в точности по сравнению с различными платформами. Обратите внимание, что только результаты для самого широкого типа с плавающей запятой в системе приведены, поскольку более узкие типы имеютфактически нулевую ошибку. Все значения являются относительными погрешностями в единицах эпсилона.

Implementation

Ключом алгоритма КарлсонаCarlson79является теорема дублирования:

Применяя его многократно,x,у,zстановятся все ближе и ближе. Когда они почти равны, уравнение особого случая

используется. Более конкретно,[R F]оценивается от расширения серии Тейлора до пятого порядка. Вычисления трех других интегралов аналогичны, за исключением R_C, которые могут быть вычислены из элементарных функций.

Дляp< 0вR_J(x, y, z, p)иy< 0вR_C(x, y)интегралы единичны и ихОсновные ценности Кошивозвращаются через отношения: