Основным ориентиром для эллиптических интегралов является:

Mathworld также содержит много полезной справочной информации:

Как и Википедия Эллиптический интеграл.

Notation

Все переменные являются реальными числами, если не указано иное.

Definition

эллиптический интеграл называется, если R(t, s) является рациональной функцией t и s, а s² является кубическим или квартическим полиномом в t.

Эллиптические интегралы вообще не могут быть выражены в терминах элементарных функций. Тем не менее, Legendre показал, что все эллиптические интегралы могут быть сведены к следующим трем каноническим формам:

Эллиптический интеграл первого рода (форма Легендра)

Эллиптический интеграл второго рода (форма Легендра)

Эллиптический интеграл третьего рода (форма Легендра)

где

	Note
	φ называется амплитуда. k называется модулем. α называется модульным углом. n называется характеристикой.

Caution

Возможно, больше, чем любые другие специальные функции, эллиптические интегралы выражаются различными способами. В частности, конечный параметр k (модуль) может быть выражен с использованием модульного угла α или параметр m. Они связаны между собой: k = sinα m = k2 = sin2α Таким образом, интеграл третьего рода (например) может быть выражен как: Π(n, φ, k) Π (n, φ \ α) Π(n, φ | m) Для дальнейшего усложнения вопросов некоторые тексты ссылаются на дополнение параметра m, или 1 - m, где: 1 - m = 1 - k2 = cos2α Эта реализация использует k по всему: это соответствует требованиям Технического отчета по расширениям библиотеки C++. Тем не менее, вы должны быть очень осторожны при использовании этих функций!

Когда φ = π/2, эллиптические интегралы называются полными.

Полный эллиптический интеграл первого рода (форма Легендра)

Полный эллиптический интеграл второго рода (форма Легендра)

Полный эллиптический интеграл третьего рода (форма Легендра)

Legendre также определил четвертый интеграл D(φ,k), который представляет собой комбинацию трех других:

Как и другие интегралы Legendre, это происходит как в полной, так и в неполной форме.

Carlson Elliptic Integrals

Карлсон [Carlson77] [Carlson78] дает альтернативное определение канонических форм эллиптического интеграла:

Эллиптический интеграл первого рода Карлсона

где x, y, z неотрицательны и в большинстве случаев один из них может быть равен нулю.

Эллиптический интеграл второго рода Карлсона

где x, y неотрицательны, максимум один из них может быть равен нулю, а z должен быть положительным.

Эллиптический интеграл третьего рода Карлсона

где x, y, z неотрицательны, максимум один из них может быть равен нулю, а p должен быть ненулевым.

Вырожденный эллиптический интеграл Карлсона

где x является неотрицательным, а y ненулевым.

	Note
	RC(x, y) = RF(x, y, y) RD(x, y, z) = RJ(x, y, z, z)

Симметричный интеграл Карлсона

Duplication Theorem

Карлсон доказал в [Carlson78] это

Carlson's Formulas

Форма Легендера и форма Карлсона эллиптических интегралов связаны уравнениями:

В частности,

Miscellaneous Elliptic Integrals

Есть две функции, связанные с эллиптическими интегралами, которые в противном случае не поддаются категоризации:

функция Heuman Lambda:

Обе эти функции легко реализуются с точки зрения интегралов Карлсона и представлены в этой библиотеке как jacobi_zeta и heuman_lambda.

Numerical Algorithms

Традиционными методами вычисления эллиптических интегралов являются преобразования Гаусса и Ландена, которые сходятся квадратически и хорошо работают для эллиптических интегралов первого и второго видов. К сожалению, они страдают от потери значительных цифр для третьего вида. Алгоритм Карлсона [Carlson79] [Carlson78], напротив, обеспечивает единый метод для всех трех видов эллиптических интегралов с удовлетворительной точностью.

References

Особое упоминание относится к:

Однако основными ссылками являются:

Следующие ссылки, хотя и не относятся непосредственно к нашей реализации, также могут представлять интерес: