Synopsis

#include <boost/math/special_functions/polygamma.hpp>

namespace boost{ namespace math{
template <class T>
calculated-result-type polygamma(int n, T z);
template <class T, class Policy>
calculated-result-type polygamma(int n, T z, const Policy&);
}} // namespaces

Description

Возвращает функцию полигаммы x. Полигамма определяется как n-я производная функции дигаммы:

Следующие графики иллюстрируют поведение функции для нечетного и четного порядка:

Конечный аргумент Политика является необязательным и может использоваться для контроля поведения функции: как она обрабатывает ошибки, какой уровень точности использовать и т. д. См. документацию по политике для более подробной информации .

Тип возврата этой функции вычисляется с использованием правил расчета типа результата : результат типа double, когда T является целым типом, а тип T иначе.

Accuracy

В следующей таблице показаны пиковые ошибки (в единицах эпсилона), обнаруженные на различных платформах с различными типами плавающих точек. Если не указано иное, любой тип плавающей точки, который является более узким, чем показанный, будет иметь фактически нулевую ошибку .

Как показано выше, частота ошибок, как правило, очень приемлема для аргументов умеренного размера. Показатели ошибок должны оставаться низкими для точных входов, однако обратите внимание, что функция становится исключительно чувствительной к небольшим изменениям входа для больших n и отрицательных x, действительно для случаев, когда n! будет переполнена, функция изменяется непосредственно от -∞ до +∞ где-то между каждым отрицательным целым числом - эти случаи не обрабатываются правильно.

По этим причинам к результатам следует относиться с особой осторожностью, когда n большой и x отрицательный.

Testing

Тестирование проводится с точностью до 35 цифр, полученной Mathematica.

Implementation

Для x < 0 используется следующая формула отражения:

N'-производная cot(x) табулируется для малого n, а для большего n имеет общую форму:

Коэффициенты косинусных терминов могут быть рассчитаны итеративно, начиная с C_1,0 = -1 и затем с использованием

для получения коэффициентов n+1.

Обратите внимание, что любой другой коэффициент равен нулю, и, следовательно, у нас есть четные или нечетные многочлены в зависимости от того, является ли n четным или нечетным.

После того, как x является положительным, у нас есть два метода, для небольшого x мы используем расширение серии:

Обратите внимание, что оценка дзета-функций по целым значениям по существу является поиском таблицы, поскольку дзета оптимизирована для этих случаев.

Для больших x мы используем асимптотическое расширение:

Для x между двумя крайностями мы используем отношение:

чтобы сделать x достаточно большим для использования асимптотического расширения.

Есть также два особых случая: